Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2 cm的速度沿线CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是（　　）

• A、

  12

  7

  cm
• B、

  12

  5

  cm
• C、

  5

  3

  cm
• D、2cm

Answer 1

分析：本题较复杂，设AC、AB与⊙O的切点分别为R、M，连接OR、OM，过O作OK⊥BC于K；由于△POR∽△PCB，可得出关于PR，OR，PC，BC的比例关系式，由此可求出PR与半径的比例关系．由此可表示出OK，AP的长；在Rt△OBK中，已知了OK的表达式，BK=BC-r，而OB可在Rt△OBM中用勾股定理求得．由此可根据勾股定理求出半径r的长．

解答：解：连接OR、OM，
则OR⊥AC，OM⊥AB；过O作OK⊥BC于K，
设⊙O的半径为r，
易知：△POR∽△PBC，
∴

PR

PC

=

OR

BC

，
∵BC=

102-82

=6cm，
∴

PR

4

=

r

6

，即：PR=

2

3

r，
AP=CP=2×2=4cm，
在Rt△BOK与Rt△BMO中，根据勾股定理，得：
（6-r）²+（4-

2

3

r）²=BO²=[10-（8-4+

2

3

r）]²+r²
解得：r=

12

7

cm．
故本题选A．

点评：此题虽是动点问题，但和动点无直接关系，实质是运用切线的性质和勾股定理得到一个关于半径的方程，然后求解．