Question

如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH＝BG＝AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.

请解决下列问题：

1.命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；

2.画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）.

3.试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系

 

Answer 1

【答案】

 

1.都是真命题…………………………………………（1分）

若选（Ⅰ）证明如下：

∵矩形ABCD

∴AD//BC

∵AH＝BG

∴四边形ABGH是平行四边形

∴AB＝HG

∴AB＝HG＝AH＝BG

∴四边形ABGH是菱形　………………………………………………………………（4分）

若选（Ⅱ），证明如下：

∵矩形ABCD　∴AB＝CD，AD＝BC

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

∵E、F、G、H是中点，

∴AE＝BE＝CG＝DG　AH＝HD＝BF＝FC

∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF

∴EF＝FG＝GH＝HE

∴四边形　EFGH是菱形………………………………………………………………（4分）

若选（Ⅲ），证明如下

∵EF垂直平分AC

∴FA＝FC　EA＝EC

又∵矩形ABCD

　∴AD//BC　　∴∠FAC＝∠ECA

在△AOF和△COE中

∴△ADF≌△COE（BAS）

∴AF＝CE　∴AF＝FC＝CE＝EA

∴四边形AECF是菱形………………………………………………………………（4分）

2.如图所示…………………………………………………………………………（6分）

3.S_ABGH＝a²    S_EFGH＝　　　　…………………（9分）

（b>a）

∴

∴

∴当时即0<b＜2a　

　当a＝时　即b＝2a　

　当a＝＜时　即b＞a　

综上所述：

当O＜b＜2a时    

当b＝2a时    

当b＞2a时     　　…………………………………（10分）

【解析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；

        （2）该题要考虑到O＜b＜2a、b＝2a、b＞2a三种情况，学生做题时往往考虑不周到。