Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE=EG，求证：AC2=BCBG．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：

∵BE⊥AC，

∴∠AFB=90°．

∴∠ABE+∠BAF=90°．

∵∠ABE=∠CAD．

∴∠CAD+∠BAF=90°．

即∠BAD=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：连接AG．

∵AE=EG，

∴∠EAG=∠EGA．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．

∴∠ABG=∠BGC．

∴∠CAD=∠BGC．

∴∠AGC=∠GAC．

∴CA=CG．

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB．

∴∠ACB=∠BGC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCG=90°．

∴∠BCG=∠ABC，

∴△BCG∽△ABC．

∴ ．

∴AC2=BCBG．

【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到四边形ABCD是矩形；（2）连接AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AC2=BCBG．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．