题目内容

观察下列等式19×21=202-1，28×32=302-22，37×43=402-32，…，已知m，n为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=
 
．
分析：根据观察已知等式知，若ab=x2-y2，则x-y=a，x+y=b．根据此规律可解mn的值．
解答：解：根据观察，可设mn=x2-y2=（x-y）（x+y），
则x-y=m，x+y=n，
∵
m+n
2
+
m-n
2
=m，
m+n
2
-
m-n
2
=n，
∴x=
m+n
2
，y=
m-n
2
，
∴mn=(
m+n
2
)2-(
m-n
2
)2；
故答案为：(
m+n
2
)2-(
m-n
2
)2．
点评：本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
练习册系列答案
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30、观察下列等式：32-12=8×1；52-32=8×2；72-52=8×3；92-72=8×4；…
（1）根据上面规律，若a2-b2=8×10，则a=
21
，b=
19
；
（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为
（2n+1）2-（2n-1）2=8n
．
（2013•海沧区一模）观察下列等式：
9×9+19
=10，
99×99+199
=100，
999×999+1999
=1000，…
用你发现的规律直接写出下题的结果：
999999×999999+1999999
=
1000000（或106）
1000000（或106）
．
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
先观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
1
9×10
=
1
9
-
1
10

将以上等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10
=+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
9
-
1
10
)=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
9
-
1
10
=1-
1
10
=
9
10

然后用你发现的规律解答下列问题：
（1）猜想并写出：
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
1
n-1
-
1
n
；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
；
（3）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2012×2014
．

观察下列等式19×21=202-1，28×32=302-22，37×43=402-32，…，已知m，n为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=________．

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