题目内容
请先阅读下列一组内容,然后解答问题:
先观察下列等式:
=1-
,
=
-
,
=
-
…
=
-
将以上等式两边分别相加得:
+
+
+…+
=+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)=
-
+
-
+…+
-
=1-
=
然后用你发现的规律解答下列问题:
(1)猜想并写出:
=
-
-
;
(2)直接写出下列各式的计算结果:
①
+
+
+…+
=
;
②
+
+
+…+
=
;
(3)探究并计算:
+
+
+…+
.
先观察下列等式:
1 |
1×2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3×4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
9×10 |
1 |
9 |
1 |
10 |
将以上等式两边分别相加得:
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
9×10 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
9 |
1 |
10 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
9 |
1 |
10 |
1 |
10 |
9 |
10 |
然后用你发现的规律解答下列问题:
(1)猜想并写出:
1 |
n(n-1) |
1 |
n-1 |
1 |
n |
1 |
n-1 |
1 |
n |
(2)直接写出下列各式的计算结果:
①
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
2010×2011 |
2010 |
2011 |
2010 |
2011 |
②
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n(n+1) |
n |
n+1 |
n |
n+1 |
(3)探究并计算:
1 |
2×4 |
1 |
4×6 |
1 |
6×8 |
1 |
2012×2014 |
分析:(1)观察上述式子,发现拆项规律,写出即可;
(2)利用得出的规律化简所求式子,计算即可得到结果;
(3)根据得出的规律将原式变形,计算即可得到结果.
(2)利用得出的规律化简所求式子,计算即可得到结果;
(3)根据得出的规律将原式变形,计算即可得到结果.
解答:解:(1)根据题意得:
=
-
;
(2)①原式=1-
+
-
+…+
-
=1-
=
;
②原式═1-
+
-
+…+
-
=1-
=
;
(3)原式=
×(
-
+
-
+…+
-
)=
×(
-
)=
.
故答案为:(1)
=
-
;(2)①
;②
1 |
n(n-1) |
1 |
n-1 |
1 |
n |
(2)①原式=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2010 |
1 |
2011 |
1 |
2011 |
2010 |
2011 |
②原式═1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n+1 |
n |
n+1 |
(3)原式=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
6 |
1 |
2012 |
1 |
2014 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2014 |
503 |
2014 |
故答案为:(1)
1 |
n(n-1) |
1 |
n-1 |
1 |
n |
2010 |
2011 |
n |
n+1 |
点评:此题考查了有理数的混合运算,弄清题意的规律是解本题的关键.
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