题目内容
探索发现已知:在梯形ABCD中,CD∥AB,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N.
(1)如图①,如果AD=BC,求证:直线EM是线段AB的垂直平分线.
(2)如图②,如果AD≠BC,那么线段AM与BM是否相等?请说明理由.
学以致用
仅用直尺(没有刻度),试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴.(写出作图步骤,保留作图痕迹)

【答案】分析:(1)AD=BC,CD∥AB,则四边形ABCD是等腰梯形,根据等腰梯形的性质可以得到∠DAB=∠CBA,则AE=BE,即E在AB的垂直平分线上,然后根据OA=OB即可证明O在AB的垂直平分线上,从而证得EM是AB的垂直平分线;
(2)易证△DEN∽△AEM,△OND∽△OMB,则依据相似三角形的对应边的比相等,可以证得:
,从而证得BM=AM;
(3)根据(2)可以得到:连接AC,BD,两线交于点O1,矩形ABCD外任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H,即可作出AB的中点M,则直线MO1即为所求.
解答:
(1)证明:∵AD=BC,CD∥AB.
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,∠DAB=∠CBA,
∴AE=BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上,
在△ABD与△BAC中,AB=BA,AD=BC,BD=AC,
∴△ABD≌△BAC,
∴∠1=∠2
∴OA=OB,
∴点O在线段AB的垂直平分线上,
则直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)解:相等.理由:
∵CD∥AB,∴∠3=∠EAB
∵∠4=∠4,
∴△DEN∽△AEM
∴
,同理
∴
∵CD∥AB,
∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8,
∴△OND∽△OMB
∴
,同理
∴
∴
∴AM=BM;
(3)解:作法:如图③①连接AC,BD,两线交于点O1
②在矩形ABCD外任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H
③连接BG,AH,两线交于点O2.
④作直线EO2,交AB于点M.
⑤作直线MO1.
∴直线MO1就是矩形ABCD的一条对称轴.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,正确根据相似三角形的对应边的比相等,通过等量代换得到
是关键.
(2)易证△DEN∽△AEM,△OND∽△OMB,则依据相似三角形的对应边的比相等,可以证得:

(3)根据(2)可以得到:连接AC,BD,两线交于点O1,矩形ABCD外任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H,即可作出AB的中点M,则直线MO1即为所求.
解答:

∴四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,∠DAB=∠CBA,
∴AE=BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上,
在△ABD与△BAC中,AB=BA,AD=BC,BD=AC,
∴△ABD≌△BAC,
∴∠1=∠2
∴OA=OB,
∴点O在线段AB的垂直平分线上,
则直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)解:相等.理由:
∵CD∥AB,∴∠3=∠EAB

∵∠4=∠4,
∴△DEN∽△AEM
∴


∴

∵CD∥AB,
∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8,
∴△OND∽△OMB
∴


∴

∴


(3)解:作法:如图③①连接AC,BD,两线交于点O1
②在矩形ABCD外任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H
③连接BG,AH,两线交于点O2.
④作直线EO2,交AB于点M.
⑤作直线MO1.
∴直线MO1就是矩形ABCD的一条对称轴.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,正确根据相似三角形的对应边的比相等,通过等量代换得到


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