Question

【题目】已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ．

（1）如图1， ， 分别是 ， 上的点， 与 的延长线相交于点 ．若 ，求证： ；
（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ，
①求证： ；
②当 时，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形.

∴AC⊥BD,OD=OC.

∴∠DOG=∠COE=90°.

∴∠OEC+∠OCE=90°.

∵DF⊥CE.

∴∠OEC+∠ODG=90°.

∴∠ODG=∠OCE.

∴△DOG≌△COE（ASA）.

∴OE=OG.

（2）

①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°.

又OE=OG.

∴△DOG≌△COE（SAS）.

∴∠ODG=∠OCE.

②解：设CH=x，

∵四边形ABCD是正方形，AB=1

∴BH=1-x

∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°

∵EH⊥BC

∴∠BEH=∠EBH=45°

∴EH=BH=1-x

∵∠ODG=∠OCE

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE

∴∠HDC=∠ECH

∵EH⊥BC

∴∠EHC=∠HCD=90°

∴△CHE∽△DCH

∴ =.

∴HC2=EH·CD

得x2+x-1=0

解得x1=,x2= （舍去）.

∴HC=.

【解析】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定ASA和性质即可.
（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论.
②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定于性质可得=,然后列方程求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解公式法的相关知识，掌握要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．