题目内容
（2013•北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
，则AD的长为
．
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为
a
a
；（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
解答：解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为
a，
每个等腰直角三角形的面积为：
a•
a=
a2，
则拼成的新正方形面积为：4×
a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×
×12=2；
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=
SF=
a，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=
a×
=
a，
∴S△RSF=
a•
a=
a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=
x，SD=2ND=2ADcos30°=
x，
∴S△ADS=
SD•AN=
•
x•
x=
x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×
a2=
a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴
=3×
x2，得x2=
，
解得x=
或x=-
（不合题意，舍去）
∴x=
，即AD的长为
．
故答案为：a；
．
| 1 |
| 2 |
每个等腰直角三角形的面积为：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
则拼成的新正方形面积为：4×
| 1 |
| 4 |
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×
| 1 |
| 2 |
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
∴S△RSF=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 6 |
| ||
| 12 |
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴S△ADS=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×
| ||
| 12 |
| ||
| 4 |
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴
| ||
| 3 |
| ||
| 4 |
| 4 |
| 9 |
解得x=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴x=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故答案为：a；
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
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