Question

如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留）

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）.

试题分析：（1）连接OC，由切线的性质证得OC⊥EF，从而证明OC∥AD，再根据等边对等角和平行线的性质可证得∠BAC=∠OCA和∠OCA=∠DAC，进而可知∠DAC=∠BAC.
(2)由于阴影部分的面积=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA，所以先求出梯形的面积和扇形OCA的面积即可.
试题解析：
（1）证明：连接OC
∵直线EF切⊙O 于点C
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠DAC
∵ OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∴∠DAC=∠BAC
即AC平分∠BAD
（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA
∴△OAC是等边三角形
∵⊙O的半径为2
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1
由勾股定理得：DC=
∴阴影部分的面积=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA
=×（2+1）×﹣

∴阴影部分的面积为：
考点: ①切线的性质；②扇形的面积的计算；③等边三角形的性质与判定