Question

中国，是拥有五千年历史的古国，它具有十分丰富的文化传承，其中京剧就是一门重要的艺术，常常受到外国友人的青睐．看到下面的京剧脸谱了吗？其实它们可以看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，如果一条直线与此图形只有一个交点，那么这条直线叫做它的切线．
如图，点A、B、C、D分别是该图形与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出此图形抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）x轴上有点E（-3，0），直线CE是此图形的切线吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知圆的圆心和半径求出A、B的坐标，再根据D点坐标求出抛物线解析式；
（2）求出CE解析式，并计算出M到直线CE的距离，与半径进行比较．

解答：解：（1）由圆M可知A（-1，0）B（3，0）且抛物线的对称轴为x=1
设抛物线的解析式为y=k（x-1）²+b（k≠0），
分别将A（-1，0）D（0，-3）代入
得二元一次方程组

4k+b=0 k+b=-3

解得：

k=1 b=-4

所以抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4（-1≤x≤3）；

（2）由圆M得，C（0，

3

），
由E（-3，0）的直线CE的解析式为y=-

3

3

x-3
则M到直线CE的距离为

|- 3 3 ×1-3|

( 3 3 )2+1

≠2，所以直线与圆不相切．

点评：本题考查了抛物线解析式的求法以及切线的判定．