Question

如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB²=2FG²．

Answer 1

证明：∵AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（AAS），
∴AF=AB．①
在Rt△AGF中，∵∠FAG=45°，
∴AG=FG，
∴AF²=AG²+FG²=2FG²．②
由①，②得AB²=2FG²．
分析：注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF²=2FG²，因而应有AF=AB，进而证明△ABE≌△AFE，即可得AF=AB，根据AF²=AG²+FG²=2FG²即可解题．
点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△AFE≌Rt△ABE是解题的关键．