题目内容
如图,梯形
中,
∥
,
,
,
.动点
从点
出发,以每秒
个单位长度的速度在线段
上运动;动点
同时从点
出发,以每秒
个单位长度的速度在线段
上运动.以
为边作等边△
,与梯形
在线段
的同侧.设点
、
运动时间为
,当点
到达
点时,运动结束.
(1)当等边△的边
恰好经过点
时,求运动时间
的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△与梯形
的重合部分面积为
,请直接写出
与
之间的函数关系式和相应的自变量
的取值范围;
(3)如图,当点
到达
点时,将等边△
绕点
旋转
(
),
直线分别与直线
、直线
交于点
、
.是否存在这样的
,使△
为等腰三角形?若存在,请求出此时线段
的长度;若不存在,请说明理由.
(1)4s(2)
(3)DM的长为:
【解析】(1)当EG经过点A时
∴△EGF为等边△
∴∠AEF=600=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B=300
∴BE=AE=t=EF
∴此时G与A,重合
∴在Rt△BAF中
2t•cos300=4
t=4s ......3分
(2).................8分
(3)存在;①当M点在线段CD上时,
△DMN为等腰三角形
当MD=MN
此时:∠C=∠1=∠N=∠CDN=300
∴ME=MC
作MH⊥CE
EH=
∴
∴DM=
当D=D
时
此时
D=
,不存在
当ND=NM时,则∠NDM=∠DMN=300,则M不在线段CD上. ∴舍
②当M在CD延长线上时
当N1D=N1M1时
∠1=∠M1,又∠1=∠2
∴∠2=∠
∴EM1=CE=
过E作EH⊥CM1
则CM1=2CH=2×CE•cos300
=
∴DM1=
当DM2=DN2时
可知CM2=CE=
∴DM2=
当M3D=M3N时
此时∠M2N2D=∠1=30°
∴此时:∠M3EC=300
则M不在CD延长线上
∴舍去
③当M在DC延长线上时
∵∠D为1500
∴△DMN为等腰△时
只有DM=DN
则:∠N=∠1=∠2=∠M
∴CE=CM=
∴DM=4
综上所述DM的长为:.................12分
本试题主要是考查了等边△与梯形
的重合部分面积为
与时间
之间的函数关系式,以及利用三角形中的三角函数值得到边长问题的综合运用。
(1)当EG经过点A时
∴△EGF为等边△
∴∠AEF=600=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B=300
∴BE=AE=t=EF
∴此时G与A,重合
∴在Rt△BAF中
2t•cos300=4
t=4s
(2)根据时间与面积的关系式需要分情况讨论得到。
(3)当点到达
点时,将等边△
绕点
旋转
(
),
直线分别与直线
、直线
交于点
、
.假设存在这样的
,使△
为等腰三角形
那么要对点M是在线段CD上,还是在线段CD的延长线上,还是在DC的延长线上三种情况来分析即可。