题目内容

如图,梯形中,.动点从点出发,以每秒个单位长度的速度在线段上运动;动点同时从点出发,以每秒个单位长度的速度在线段上运动.以为边作等边△,与梯形在线段的同侧.设点运动时间为,当点到达点时,运动结束.

 

  (1)当等边△的边恰好经过点时,求运动时间的值;

  (2)在整个运动过程中,设等边△与梯形的重合部分面积为,请直接写出之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围;

  (3)如图,当点到达点时,将等边△绕点旋转(),

直线分别与直线、直线交于点.是否存在这样的,使△ 为等腰三角形?若存在,请求出此时线段的长度;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)4s(2)

(3)DM的长为:

【解析】(1)当EG经过点A时

     ∴△EGF为等边△

     ∴∠AEF=600=∠B+∠BAE

     ∴∠BAE=∠B=300

     ∴BE=AE=t=EF

     ∴此时G与A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos300=4

      t=4s              ......3分

 (2).................8分

  (3)存在;①当M点在线段CD上时,

       △DMN为等腰三角形

       当MD=MN

       此时:∠C=∠1=∠N=∠CDN=300

       ∴ME=MC

      作MH⊥CE

      EH=

      ∴

      ∴DM=

      当D=D

      此时

      D,不存在

      当ND=NM时,则∠NDM=∠DMN=300,则M不在线段CD上. ∴舍

②当M在CD延长线上时

  当N1D=N1M1

   ∠1=∠M1,又∠1=∠2

   ∴∠2=∠

   ∴EM1=CE=

   过E作EH⊥CM1

   则CM1=2CH=2×CE•cos300

    =

   ∴DM1=

   当DM2=DN2

   可知CM2=CE=

   ∴DM2=

   当M3D=M3N时

   此时∠M2N2D=∠1=30°

   ∴此时:∠M3EC=300

   则M不在CD延长线上

   ∴舍去

③当M在DC延长线上时

   ∵∠D为1500

   ∴△DMN为等腰△时

    只有DM=DN

   则:∠N=∠1=∠2=∠M

   ∴CE=CM=

   ∴DM=4

综上所述DM的长为:.................12分

本试题主要是考查了等边△与梯形的重合部分面积为与时间之间的函数关系式,以及利用三角形中的三角函数值得到边长问题的综合运用。

(1)当EG经过点A时

     ∴△EGF为等边△

     ∴∠AEF=600=∠B+∠BAE

     ∴∠BAE=∠B=300

     ∴BE=AE=t=EF

     ∴此时G与A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos300=4

      t=4s

(2)根据时间与面积的关系式需要分情况讨论得到。

(3)当点到达点时,将等边△绕点旋转(),

直线分别与直线、直线交于点.假设存在这样的,使△ 为等腰三角形

那么要对点M是在线段CD上,还是在线段CD的延长线上,还是在DC的延长线上三种情况来分析即可。

 

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