题目内容
如图
，梯形
中，
∥
，
，
，
．动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度在线段上运动；动点
同时从点出发，以每秒
个单位长度的速度在线段上运动．以
为边作等边△
，与梯形在线段的同侧．设点、运动时间为
，当点到达
点时，运动结束．
（1）当等边△的边
恰好经过点
时，求运动时间的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△与梯形的重合部分面积为
，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
（3）如图，当点到达点时，将等边△绕点旋转
(
)，
直线分别与直线
、直线交于点
、
．是否存在这样的
，使△
为等腰三角形？若存在，请求出此时线段
的长度；若不存在，请说明理由．
（1）4s（2）
（3）DM的长为：
【解析】（1）当EG经过点A时
∴△EGF为等边△
∴∠AEF＝600＝∠B+∠BAE
∴∠BAE＝∠B＝300
∴BE＝AE＝t＝EF
∴此时G与A,重合
∴在Rt△BAF中
2t•cos300=4
t=4s ......3分
（2）
.................8分
（3）存在；①当M点在线段CD上时，
△DMN为等腰三角形
当MD＝MN
此时：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝300
∴ME＝MC
作MH⊥CE
EH=
∴
∴DM=
当D
＝D
时
此时
D＝
，不存在
当ND＝NM时，则∠NDM＝∠DMN＝300，则M不在线段CD上. ∴舍
②当M在CD延长线上时
当N1D=N1M1时
∠1＝∠M1,又∠1＝∠2
∴∠2＝∠
∴EM1=CE=
过E作EH⊥CM1
则CM1=2CH=2×CE•cos300
=
∴DM1=
当DM2=DN2时
可知CM2=CE=
∴DM2=
当M3D=M3N时
此时∠M2N2D=∠1=30°
∴此时：∠M3EC=300
则M不在CD延长线上
∴舍去
③当M在DC延长线上时
∵∠D为1500
∴△DMN为等腰△时
只有DM＝DN
则：∠N＝∠1＝∠2＝∠M
∴CE＝CM＝
∴DM＝4
综上所述DM的长为：
.................12分
本试题主要是考查了等边△
与梯形
的重合部分面积为
与时间
之间的函数关系式，以及利用三角形中的三角函数值得到边长问题的综合运用。
（1）当EG经过点A时
∴△EGF为等边△
∴∠AEF＝600＝∠B+∠BAE
∴∠BAE＝∠B＝300
∴BE＝AE＝t＝EF
∴此时G与A,重合
∴在Rt△BAF中
2t•cos300=4
t=4s
（2）根据时间与面积的关系式需要分情况讨论得到。
（3）当点
到达
点时，将等边△绕点
旋转
(
)，
直线
分别与直线
、直线
交于点
、
．假设存在这样的
，使△
为等腰三角形
那么要对点M是在线段CD上，还是在线段CD的延长线上，还是在DC的延长线上三种情况来分析即可。
名校课堂系列答案
如图，梯形中ABCD中，∠DBC=30°，
17、如图，梯形中位线的长是20cm，它被一条对角线分成的两部分的差是5cm，则这个梯形较长的底边长是（ ）
如图：梯形中ABCD，AD∥BC，AB=CD=5，BC=6，∠C=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小值为
中，
平分
分别为AD、AB中点，点G为BC边上一点，且
；
时，四边形
为平行四边形，并说明理由.
中，
平分
分别为AD、AB中点，点G为BC边上一点，且
；
时，四边形
为平行
四边形，并说明理由.