Question

【题目】如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：与相切；

（2）连接，若的半径为4，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接，首先根据垂径定理及证明为等边三角形，则有，进而可得出，再利用平行线的性质和，证明，从而结论可证；

（2）作于点，首先证明四边形为菱形，则有，，再利用平行线的性质进一步得出，然后利用特殊角的三角函数值求出EC,CF的长度，从而可求EH,FH,最后利用勾股定理求EF的长度即可．

（1）证明：如图，连接，

∵是的直径，弦于点，

∴．

∵，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴．

，

，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴与相切．

（2）解：如图，作于点，

∵与相切，

∴．

又∵，

∴，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴四边形为菱形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵在中，，

∴．