题目内容
阅读与证明:
如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,且∠EAF=45°,求证:BF+DE=EF.
分析:证明一条线段等于另两条线段的和,常用“截长法”或“补短法”,将线段BF、DE放在同一直线上,构造出一条与BF+DE相等的线段.如图延长ED至点,使D=BF,连接A,易证△ABF≌△AD,进一步证明△AEF≌△AE,即可得结论.
(1)请你将下面的证明过程补充完整.
证明:延长ED至,使D=BF,
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD,∠ABF=∠AD=90°,
∴△ABF≌△AD(SAS)
应用与拓展:如图建立平面直角坐标系,使顶点A与坐标原点O重合,边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上.
(2)设正方形边长OB为30,当E为CD中点时,试问F为BC的几等分点?并求此时F点的坐标;
(3)设正方形边长OB为30,当EF最短时,直接写出直线EF的解析式:________.
答案:
解析:
解析:
(1)证明:∴AF=A,∠BAF=∠DA ∵∠AE=∠AD+∠DAE=∠BAF+∠DAE =∠DAB-∠EAF=45°, 又∵∠EAF=45°, ∴∠AE=∠EAF ∴△AEF≌△AE(3分) ∴EF=E=ED+D=ED+BF(4分) (2)解:设BF=a,则CF=30-a,EF=15+a 在Rt△CEF中 EC2+CF2=EF2 ∴152+(30-a)2=(15+a)2 ∴a=10(6分) ∴F为BC的三等分点(7分) ∴F(30,10)(8分) (3)y=-x+30(10分) |
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