题目内容

阅读与证明:

如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,且∠EAF=45°,求证:BF+DE=EF.

分析:证明一条线段等于另两条线段的和,常用“截长法”或“补短法”,将线段BF、DE放在同一直线上,构造出一条与BF+DE相等的线段.如图延长ED至点,使D=BF,连接A,易证△ABF≌△AD,进一步证明△AEF≌△AE,即可得结论.

(1)请你将下面的证明过程补充完整.

证明:延长ED至,使D=BF,

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD,∠ABF=∠AD=90°,

∴△ABF≌△AD(SAS)

应用与拓展:如图建立平面直角坐标系,使顶点A与坐标原点O重合,边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上.

(2)设正方形边长OB为30,当E为CD中点时,试问F为BC的几等分点?并求此时F点的坐标;

(3)设正方形边长OB为30,当EF最短时,直接写出直线EF的解析式:________

答案:
解析:

  (1)证明:∴AFA,∠BAF=∠DA

  ∵∠AE=∠AD+∠DAE=∠BAF+∠DAE

  =∠DAB-∠EAF=45°,

  又∵∠EAF=45°,

  ∴∠AE=∠EAF

  ∴△AEF≌△AE(3分)

  ∴EFEEDDEDBF(4分)

  (2)解:设BFa,则CF=30-aEF=15+a

  在Rt△CEF

  EC2CF2EF2

  ∴152+(30-a)2=(15+a)2

  ∴a=10(6分)

  ∴F为BC的三等分点(7分)

  ∴F(30,10)(8分)

  (3)y=-x+30(10分)


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