Question

【题目】人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系. 若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”. 例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”. 数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是的数为“两头蛇数”.

（1）6的“亲和数”为 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数,求满足条件的“两头蛇数”.

（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”.

Answer 1

【答案】（1）15，

（2）这个五位“两头蛇数”为：10461或11451或12441.

【解析】试题分析：（1）18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；

试题解析：（1）6的约数有1、2、3、6，它的真因数之和1+2+3=6，所以6的亲和数的约数有1和5，所以6的亲和数为25；（2）我们可以把该数设为1ab1，则ab为它的一个约数，即1ab1=1001+ab0是ab的一个倍数，因为ab0肯定是ab的倍数，则1001也应为ab的一个倍数，即ab应为1001的一个约数，1001的两位数的约数有11，13，77，91，则所有可能的数为1111，1131，1771，1911；

（2）设这个四位“两头蛇数”为，由题意得：

∴一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的三倍能被7整除.

(2)∵16的真因数有：1，2，4，8

∴1+2+4+8=15

∵15=1+3+11

∴16的“亲和数”为33

设这个五位“两头蛇数”为，由题意得：

∴这个五位“两头蛇数”为：10461或11451或12441