Question

（2012•奉贤区三模）如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=

m

x

（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（a，a-1）（a＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=

m

x

（x＞0）和y=-

m

x

（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA．

Answer 1

分析：（1）将点B（2，1）代入y=

m

x

，即可求出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点A（1，0），点B（2，1）分别代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）点P（a，a-1）（a＞1）在直线y=2上，即可得到a-1=2，从而求出a的值，得到P点坐标，作出直线MN，连接MB、NA，即可构造三角形△PMB和△PNA，然后根据对应线段成比例证出△PMB∽△PNA．

解答：解：（1）由点B（2，1）在y=

m

x

上，有2=

m

1

，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

解之，得

k=1 b=-1

，
∴所求直线l的解析式为y=x-1．
（2）∵点P（a，a-1）（a＞1）在直线y=2上，
∴P（3，2），
∴P在直线l上，是直线y=2和l的交点，
∴根据条件得各点坐标为N（-1，2），M（1，2），P（3，2）．
∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，
AP=

22+22

=

8

=2

2

，BP=

12+12

=

2

，
∴

NP

MP

=

AP

BP

=2，
在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA，
∴△PMB∽△PNA．

点评：本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法以及熟悉相似三角形的判定是解题的关键．