Question

如图15－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图15－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图15－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：

 

（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，  

  ∴ △OBM≌△OFN ．         ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，   ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．