题目内容

【题目】RtABC中,∠ABC90°,∠ACB30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点AB的对应点分别是DE

1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;

2)若α60°时,点F是边AC中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.

【答案】1)∠ADE15°;(2)见解析.

【解析】

1)根据旋转的性质可得CACD,∠ECD=∠BCA30°,∠DEC=∠ABC90°,根据等边对等角即可求出∠CAD=∠CDA75°,再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论;

2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BFAC,然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出ABAC,从而得出 BFAB,然后证出△ACD和△BCE为等边三角形,再利HL证出CFD≌△ABC,证出DFBE,即可证出结论.

1)解:∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC,点E恰好在AC上,

CACD,∠ECD=∠BCA30°,∠DEC=∠ABC90°,

∴∠CAD=∠CDA180°﹣30°)=75°,

∴∠ADE90°﹣∠CAD15°;

2)证明:如图2,连接AD

∵点F是边AC中点,

BFAF=CFAC

∵∠ACB30°,

ABAC

BF=CFAB

∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC

∴∠BCE=∠ACD60°,CBCEDEABDC=AC

DEBF,△ACD和△BCE为等边三角形,

BECB

∵点F为△ACD的边AC的中点,

DFAC

RtCFDRtABC

RtCFDRtABC

DFBC

DFBE

BFDE

∴四边形BEDF是平行四边形.

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