Question

已知关于戈的方程ax²+bx+c=O（a≠0），下列说法：①若方程有两个互为相反数的实数根，则b=0；②若方程ax²+bx+c=O没有实数根，则方程ax²+bx-c=O必有两个不相等的实根；③若二次三项式ax²+bx+c是完全平方式，则b²-4ac=0；④若c=0，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：根据根与系数的关系得到两根之和为-

b

a

，而它的两个互为相反数的实数根，即可得到b=0；先由方程ax²+bx+c=O没有实数根，得到△=b²-4ac＜0，即0≤b²＜4ac，即可判断方程ax²+bx-c=O的△的正负；若二次三项式ax²+bx+c是完全平方式，得到ax²+bx+c=0时两个相等的实根，即可得到△=0；若c=0，方程ax²+bx+c=O（a≠0）的△=b²-4ac=b²≥0，方程可能两个相等的实数根．

解答：解：①若方程ax²+bx+c=O（a≠0）有两个互为相反数的实数根，则两根的和-

b

a

=0，解得b=0，故①正确；
②若方程ax²+bx+c=O没有实数根，则△=b²-4ac＜0，即0≤b²＜4ac，所以方程ax²+bx-c=O的△=b²+4ac＞0，则方程ax²+bx-c=O必有两个不相等的实根，故②正确；
③若二次三项式ax²+bx+c是完全平方式，得到ax²+bx+c=0有两个相等的实根，所以△=b²-4ac=0，故③正确；
④若c=0，方程ax²+bx+c=O（a≠0）的△=b²-4ac=b²≥0，所以方程两个实数根，故④不正确；
故选A．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系．