题目内容
【题目】如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD=AC；
(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.
ⅰ）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC=3,求AE的长；
ⅱ）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。
【答案】(1)证明见解析;(2)(I)AE=
;(II) 
.
【解析】（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；
（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；
②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到
，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．
解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，
AH=BH，∠BHD=∠AHC=90°，DH=CH，
∴△BHD≌△AHC，
∴BD=AC，
（2）①如图，
在Rt△AHC中，
∵tanC=3，∴
=3，
设CH=x，∴BH=AH=3x，
∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，
∴AH=3，CH=1，
由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHA=∠FHC， 
，
∴△EHA≌△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
过点H作HP⊥AE，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，
∴AP2+（3AP）2=9，
∴AP=
，
∴AE=
；
②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=90°，
∴△AGQ∽△CHQ，
∴
，
∴
，
∵∠AQC=∠GQE，
∴△AQC∽△GQH，
∴
=sin30°=
．
“点睛”此题是几何变换综合题，主要考查例 旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用.
