Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与
线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与
AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°
∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中，
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3
∴△AOD是等腰Rt△   ………………………………1分
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°
∴∠AOE=∠BCD
∴△AED≌△BDC
∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分
则过D、E、C三点的抛物线解析式为： ……………3分
（2）DH⊥OC于点H,

∴∠DHO=90°
∵矩形 ABCD中, ∠BAO=∠AOC=90°
∴四边形AOHD是矩形
∴∠ADH=90°.
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AD=OA=2，
∴四边形AOHD是正方形.
∴△FAD≌△GHD
∴FA=GH         ………………………………4分
∴设点 G（x，0），
∴OG=x，GH=2-x
∵EF=2OG=2x，AE=1，
∴2-x=2x-1，
∴x=1.
∴G(1,0)          ……………………………………………5分
(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形
1）当点P为顶点，既 CP=GP时，
易求得P₁（2,2），既为点D时，
此时点Q、与点P₁、点D重合，
∴点Q₁(2,2)                   ……………………………………………6分
2)当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P₂(3,2)          

∴直线GP₂的解析式：
求交点Q: 
可求的交点（）和（-1，-2）
∵点Q在第一象限
∴Q₂（）            ……………………………………………7分
3)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P₃(1,2)
∴直线GP₃的解析式：
求交点Q:
可求的交点（）
∴Q₃（）          ……………………………………………8分
所以，所求Q点的坐标为Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．解析:
略