题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC上,且CD·BC=AC·CE,以E为圆心,DE长为半径作圆,⊙E经过点B,与AB、BC分别交于点F、G.
(1)求证:AC是⊙E的切线;
(2)若AF=4,CG=5,求⊙E的半径;
(3)若Rt△ABC的内切圆圆心为I,求⊙I的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙E的半径为20;(3)130π.
【解析】(1)证明△CDE∽△CAB,得∠EDC=∠A=90°,所以AC是⊙E的切线;
(2)如图1,作辅助线,构建矩形AHED,设⊙E的半径为r,表示BH和EC的长,证明△BHE∽△EDC,列比例式代入r可得结论;
(3)如图2,作辅助线,构建直角△IME,分别求IM和ME的值,利用勾股定理可求IE的长.
(1)∵ CD·BC=AC·CE,
∴=
∵∠DCE=∠ACB.
∴△CDE∽△CAB,
∴∠EDC=∠A=90° ,
∴ED⊥AC
又∵点D在⊙O上,
∴AC与⊙E相切于点D .
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,
∴BH=FH.
在四边形AHED中,∠AHE=∠A=∠ADE=90°,
∴四边形AHED为矩形,
∴ED=HA,ED∥AB,
∴∠B=∠DEC.
设⊙O的半径为r,则EB=ED=EG=r,
∴BH=FH=r-4,EC=r+5.
在△BHE和△EDC中,
∵∠B=∠DEC,∠BHE=∠EDC,
∴△BHE∽△EDC.
∴=
,即
=
.
∴r=20.即⊙E的半径为20.
(3)如图2,过I作IM⊥BC于M,过I作IH⊥AB于H,
由①得:FH=BH=r-4=20-4=16,AB=AF+2BH=4+2×16=36,
BC=2r+5=2×20+5=45,
∴AC= =27,
∵I是Rt△ABC的内心,
∴IM=(AB+ACBC) ÷2=(36+2745) ÷2=9,
∴AH=IM=9,
∴BH=BM=36-9=27,
∴EM=27-20=7,
在Rt△IME中,由勾股定理得:IE= , .
∴⊙I的面积=π×=130π.
