题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC上,且CD·BC=AC·CE,以E为圆心,DE长为半径作圆,⊙E经过点B,与AB、BC分别交于点F、G.

(1)求证:AC是⊙E的切线;

(2)若AF=4,CG=5,求⊙E的半径;

(3)若Rt△ABC的内切圆圆心为I,求⊙I的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)⊙E的半径为20;(3)130π.

【解析】(1)证明CDE∽△CAB,得∠EDC=A=90°,所以AC是⊙E的切线;

(2)如图1,作辅助线,构建矩形AHED,设E的半径为r,表示BHEC的长,证明BHE∽△EDC,列比例式代入r可得结论;

(3)如图2,作辅助线,构建直角IME,分别求IMME的值,利用勾股定理可求IE的长.

(1)∵ CD·BC=AC·CE,

∵∠DCE=∠ACB.

∴△CDE∽△CAB,

∴∠EDC=∠A=90° ,

∴ED⊥AC

又∵点D⊙O上,

AC⊙E相切于点D .

(2)过点EEH⊥AB,垂足为H,

∴BH=FH.

在四边形AHED中,∠AHE=∠A=∠ADE=90°,

∴四边形AHED为矩形,

∴ED=HA,ED∥AB,

∴∠B=∠DEC.

设⊙O的半径为r,EB=ED=EG=r,

∴BH=FH=r-4,EC=r+5.

在△BHE和△EDC中,

∵∠B=∠DEC,∠BHE=∠EDC,

∴△BHE∽△EDC.

,即

∴r=20.即⊙E的半径为20.

(3)如图2,过IIMBCM,过IIHABH,

由①得:FH=BH=r-4=20-4=16,AB=AF+2BH=4+2×16=36,

BC=2r+5=2×20+5=45,

AC= =27,

IRtABC的内心,

IM=(AB+ACBC) ÷2=(36+2745) ÷2=9,

AH=IM=9,

BH=BM=36-9=27,

EM=27-20=7,

RtIME中,由勾股定理得:IE= .

⊙I的面积=π×=130π.

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