题目内容
【题目】已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”
(1)①如图2,求出抛物线的“完美三角形”斜边AB的长;
②抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ;
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线的“完美三角形”斜边长为n,且的最大值为-1,求m,n的值.
【答案】(1)、AB=2;相等;(2)、a=±;(3)、,∴.
【解析】
试题分析:(1)、过点B作BN⊥x轴于N,由题意可知△AMB为等腰直角三角形,设出点B的坐标为(n,-n),根据二次函数得出n的值,然后得出AB的值;(2)、根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等,从而得出点B的坐标,得出a的值;(3)、根据最大值得出mn-4m-1=0,根据抛物线的完美三角形的斜边长为n得出点B的坐标,然后代入抛物线求出m和n的值.
试题解析:(1)、①过点B作BN⊥x轴于N,由题意可知△AMB为等腰直角三角形,AB∥x轴,
易证MN=BN,设B点坐标为(n,-n),代入抛物线,得,
∴,(舍去),∴抛物线的“完美三角形”的斜边
②相等;
(2)、∵抛物线与抛物线的形状相同,
∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等,
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4,∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为4,
∴B点坐标为(2,2)或(2,-2),∴.
(3)、∵的最大值为-1,∴,
∴,∵抛物线的“完美三角形”斜边长为n,
∴抛物线的“完美三角形”斜边长为n,∴B点坐标为,
∴代入抛物线,得,∴(不合题意舍去),
∴,∴
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