题目内容
【题目】定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”．
（直角三角形中的“恰等中线”）
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝
，BC＝2，AM为△ABC的中线．求证：AM是“恰等中线”．
（等腰三角形中的“恰等中线”）
（2）已知，等腰△ABC是“恰等三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的平方．
（一般三角形中的“恰等中线”）
（3）如图2，若AM是△ABC的“恰等中线”，则BC2，AB2，AC2之间的数量关系为 ．
【答案】（1）见详解；（2）600或320；（3）
.
【解析】
（1）根据“恰等中线”的定义和勾股定理，判定即可；
（2）利用“恰等三角形”的定义，分类讨论：①若腰上的中线为“恰等中线”，过B作腰AC边上的高，利用勾股定理即可求出BC2；②若底的中线为“恰等中线”，利用勾股定理求BC2即可；
（3）过A作AD⊥BC，交BC于点D，再利用勾股定理列等式即可.
解：（1）∵BC＝2，AM为△ABC的中线
∴CM=
在Rt△AMC中，
AM=
，
∴AM=BC
∴AM是“恰等中线”．
（2）①若腰上的中线为“恰等中线”，假设BD是“恰等中线”，过B作BN⊥AC，如图所示：
∵AB=AC=20，BD是AC的“恰等中线”
∴BD=AC=20，AD=DC=10
∴△ABD为等腰三角形，
∵BN⊥AC
∴AN=DN=
∴
NC=ND＋DC=15
∴
②若底的中线为“恰等中线”，如下图所示AD为“恰等中线”，设
∴AD=BC，且BD=CD=
∵AB=AC=20
∴AD⊥BC
在Rt△ABD中
解得：
综上所述：
或320.
（3）过点A作AD⊥BC交BC于D，
∵AM是△ABC的“恰等中线”
∴AM=BC，BM=CM=
在Rt△ABD，Rt△AMD和Rt△ACD中
，
，
∴ 
，
由①②变形得：
将③＋④得：
=
=
将AM=BC，BM=CM=
代入得：
∴
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案【题目】如图，设 A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表， 其中aij （ i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或－1.
a | a | a | |
a | a | a | |
a | a | a |
对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2++ x
)+(y1+ y2+ y)，将S 称为数表 A 的“积和”.
（1）当n = 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值；
1 | 1 | －1 | －1 |
1 | －1 | 1 | 1 |
1 | －1 | －1 | 1 |
－1 | －1 | 1 | 1 |
（2）是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；
（3）当n =10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值.
