Question

小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？

（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
　　 ②说出该画法依据的定理．
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：
①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．
②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．
请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）

Answer 1

解：（1）方法一：
①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，
即为直线a，b所成角的度数，
②依据：两直线平行，同位角相等，
方法二：
①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，
则180°-∠1-∠2即为直线a，b所成角的度数；
②依据：三角形内角和为180°；

（2）如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形；

（3）如图3，作线段AB的垂直平分线EF，则EF就是所求作的线．
分析：（1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理；
（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延长BD交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形．作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质；
（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．
点评：本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）三角形内角和定理，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．