题目内容
【题目】如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．
（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；
（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4， M
，N
，（2）存在，P
．
【解析】
（1）先由直线解析式求出A，B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线解析式，可进一步化为顶点式即可写出顶点M的坐标并求出点N坐标；
（2）先求出MN的长度，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），用含m的代数式表示点D坐标，并表示出PD的长度，当PD＝MN时，列出关于m的方程，即可求出点P的坐标．
（1）∵直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A（2，0），B（0，4），
把点A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得
，
解得，
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣
）2+
，
∴顶点M的坐标为（，），
当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，
则点N坐标为（，3）；
（2）存在点P，理由如下：
MN＝﹣3＝
，
设点P的坐标为（m，﹣2m+4），
则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，
∵PD∥MN，
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣2m2+4m＝，
解得，m1＝，m2＝（舍去），
∴此时P点坐标为（，1）．
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