Question

图1是两个正方形纸片ABCD和CEFG叠放在一起，分别以BC边所在直线和BC边的中垂线为坐标轴建立如图所示的坐标系，其中B（-2，0），E（2，

2

），C（2，0），固定正方形ABCD，直线L经过AC两点；将正方形CEFG绕点C顺时针旋转135°得到正方形CE₁F₁G₁，
（1）在图2中求点E₁的坐标，并直接写出点E₁与直线L的位置关系．
（2）利用（1）的结论，将图2中的正方形CE₁F₁G₁在射线CA上沿着CA方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁设为正方形PQRH（图3），当点R移动到点A停止，设正方形PQRH移动的时间为t秒，正方形PQRH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数解析式，并写出函数自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如果S=1时，过BP的直线为m，M点为直线m上的动点，N为直线L上的动点，那么是否存在平行四边形MNBC，如果存在，请求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）CEFG是边长是

2

的正方形，则△CE₁F₁是等腰直角三角形，直角边长是

2

，则E₁的坐标即可求解，E₁与AC在一条直线上；
（2）分0≤t≤

2

，当

2

＜t≤2

2

，2

2

＜t≤3

2

，3

2

＜t≤4

2

，4

2

＜t≤5

2

五种情况利用三角形的面积公式即可求解；
（3）在（2）中所求的解析式中，利用S=1，即可求得t的值，从而确定P的坐标，则直线m，l的解析式即可求得，四边形MNBC是平行四边形时，M、N的纵坐标一定相等，横坐标的差等于BC的长，据此即可得到一个关于纵坐标的方程，解方程即可求得M、N的纵坐标，进而得到坐标．

解答：解：（1）由E点坐标可知正方形?CEFG边长

2

，那么其对角线CF长度为2，
正方形CEFG绕点C顺时针旋转135° 后CE与x轴夹角为45°，
C坐标（2，0），那么E₁坐标为（3，-1），E₁ 在直线L上．

（2）当0≤t≤

2

时，S=

1

2

t²；
当

2

＜t≤2

2

时，S=-

1

2

t²+2

2

t-2；
当2

2

＜t≤3

2

时，S=2；
当3

2

＜t≤4

2

时 S=-

1

2

t²+3

2

t-7；
当4

2

＜t≤5

2

时，S=

1

2

t²-5

2

t+25；

（3）S=1时，当t≤

2

  时，解

1

2

t²=1，解得：t=

2

；
当

2

＜t≤2

2

时，解2-

1

2

（2

2

-t）²=1，解得：t=

2

或3

2

，（舍去）；
当2

2

＜t≤4

2

时，解

1

2

（4

2

-t）²=1，解得：t=3

2

或5

2

（5

2

不合题意，舍去）．
则t=

2

或3

2

．
1）当t=

2

时，那么P位于CD中点处，P的坐标是：（2，2），设直线m的解析式是y=kx+b，
则

2k+b=2 -2k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=1

则直线m表达式y=

1

2

x+1，
直线L表达式y=-x+2
设MN的纵坐标是a，则
在y=

1

2

x+1中，令y=a，解得：x=2（a-1），则M的横坐标是2（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，则x=2-a，即N的横坐标是：（2-a）．
根据BC=4，则：2（a-1）-（2-a）=4，解得：a=

8

3

，
把y=

8

3

代入y=

1

2

x+1中，解得：x=

10

3

．
则M的坐标为(

10

3

，

8

3

)．
2）当t=3

2

时，P是AD与y轴的交点，则P的坐标是：（0，4）．
设直线m的解析式是y=kx+b，
则

-2k+b=0 b=4

，
解得：

k=2 b=4

，
则m的解析式是：y=2x+4．
同1）方法相同，设MN的纵坐标是a，则
在y=2x+4中，令y=a，解得：x=

1

2

（a-4），则M的横坐标是

1

2

（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，则x=2-a，即N的横坐标是：（2-a）．
根据BC=4，则：

1

2

（a-4）-（2-a）=4，解得：a=

16

3

，
把y=

16

3

代入y=2x+4中，解得x=-

2

3

．
则M的坐标是：（-

2

3

，

20

3

）．
故M的坐标是：（

10

3

，

8

3

）或（-

2

3

，

20

3

）

点评：本题是一次函数与平行四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，以及待定系数法求函数解析式，注意到M、N两点的纵坐标相等是解题的关键．