Question

（2002•上海模拟）利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x²-3x+1=0两根的平方．

Answer 1

分析：由已知方程x²-3x+1=0，得到根的判别式大于0，可得出此方程有两个不相等的实数根，设方程的解分别为x₁，x₂，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式求出两根的平方和与平方积，写出满足题意的方程即可．

解答：解：方程x²-3x+1=0中，
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=9-4=5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
∴（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂，即9=x₁²+x₂²+2，
∴x₁²+x₂²=7，又x₁²x₂²=（x₁x₂）²=1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x²-7x+1=0．

点评：此题考查了根与系数的关系，及根的判别式与方程解的情况，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程无解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，且方程有解时，设方程的解分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．