Question

已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=

1

2

x²+

1

2

（1）根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；

（2）观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y₁和y₂的大小关系．并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；
（3）若把y=x换成与它平行的直线y=x+k（k为任意非零实数），请进一步探索：当k满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？当k满足什么条件时，（2）中的结论不能对任意的实数x都成立？并确定使（2）中的结论不成立的x的范围．

Answer 1

分析：（1）把x的值代入二次函数解析式，可直接求出对应的y的值．
（2）通过观察表中的数据，可得，y₁≤y₂，用y₂-y₁所得的式子进行分析，因为等于

1

2

（x-1）²，不论x取何值，都有

1

2

（x-1）²≥0，故有y₂-y₁≥0，即y₂≥y₁．
（3）解两个函数解析式组成的方程组，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式进行分析，（△=8k），当k＜0时，一次函数的图象在二次函数的图象的下方，那么就有y₂≥y₁，而当k＞0，时，二次函数的图象有一部分在一次函数图象的上方，一部分在下方，故这种情况不能使（2）中的结论成立．

解答：解：（1）x=-3时，y₂=5；
x=-2时，y₂=

5

2

；
x=2时，y₂=

5

2

；
x=3时，y₂=5．

（2）y₁≤y₂
∵y₂-y₁=（

1

2

x²+

1

2

）-x=

1

2

（x-1）²
又∵x取任意实数时，都有（x-1）²≥0，
∴y₂≥y₁对任意的实数x都成立．

（3）由

y=x+k y= 1 2 x2+ 1 2

，
得

1

2

x²+

1

2

=x+k，
即x²-2x+1-2k=0 ①
方程①的判别式△=4-4（1-2k）=8k，（k≠0）
①当k＜0时，方程①无实数根，
即直线y=x+k与抛物线无交点，且直线在抛物线的下方，此时（2）中的结论仍然成立．
②当k＞0时，方程①有两个不相等的实数根：x₁=1-

2

k，x₂=1+

2k

，
即直线与抛物线有两个不同的交点，此时抛物线上有一部分点在直线的下方，
所以（2）中的结论不能对任意的x都成立．
当1-

2

k＜1+

2k

时，（2）中的结论不成立．

点评：本题利用了任何一个数的平方都是一个非负数，解方程组，一元二次方程根的判别式等知识．