题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称为“理想点”.例如点(﹣2,﹣4),(1,2),(3,6)…都是“理想点”,显然这样的“理想点”有无数多个.
(1)若点M(2,a)是“理想点”,且在正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)图象上,求这个正比例函数的表达式.
(2)函数y=3mx﹣1(m为常数,且m≠0)的图象上存在“理想点”吗?若存在,请用含m的代数式表示出“理想点”的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵点M(2,a)是正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)图象上的“理想点”,
∴a=4,
∵点M(2,4)在正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)图象上,
∴4=2k,
解得k=2
∴正比例函数的解析式为y=2x
(2)
解:假设函数y=3mx﹣1(m为常数,m≠0)的图象上存在“理想点”(x,2x),
则有3mx﹣1=2x,
整理得:(3m﹣2)x=1,
当3m﹣2≠0,即m≠ 时,解得:x= ,
当3m﹣2=0,即m= 时,x无解,
综上所述,当m≠ 时,函数图象上存在“理想点”,为( , );
当m= 时,函数图象上不存在“理想点”
【解析】(1)根据“理想点”,确定a的值,即可确定M点的坐标,代入正比例函数解析式,即可解答;(2)假设函数y=3mx﹣1(m为常数,m≠0)的图象上存在“理想点”(x,2x),则有3mx﹣1=2x,整理得:(3m﹣2)x=1,分两种情况讨论:当3m﹣2≠0,即m≠ 时,解得:x= ,当3m﹣2=0,即m= 时,x无解,即可解答.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正比例函数的图象和性质的相关知识,掌握正比函数图直线,经过一定过原点.K正一三负二四,变化趋势记心间.K正左低右边高,同大同小向爬山.K负左高右边低,一大另小下山峦.