Question

(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)

(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y＝x2－x＋1
（2）
（3）P的坐标为(1，0)或(3，0)

解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得
得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分
(2)设C(x0，y0)，则有
解得∴C(4，3)．……………………………………………6分
由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．
∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：

当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分