题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201203/44/39049a71.png)
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①③⑤
①③⑤
.分析:①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB;
②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,所以△EMB是等腰Rt△,故B到直线AE距离为BF=
,故②是错误的;
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确;
④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定;
⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到S△BPD=
PD×BE=
,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
,由此即可判定.
②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,所以△EMB是等腰Rt△,故B到直线AE距离为BF=
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③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确;
④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定;
⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到S△BPD=
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解答:
解:由边角边定理易知△APD≌△AEB,故①正确;
由△APD≌△AEB得,∠AEP=∠APE=45°,从而∠APD=∠AEB=135°,
所以∠BEP=90°,
过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,
在△AEP中,由勾股定理得PE=
,
在△BEP中,PB=
,PE=
,由勾股定理得:BE=
,
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=
,
故②是错误的;
因为△APD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而对顶角相等,所以③是正确的;![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201203/49/45e92ce3.png)
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
,
可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=
+
,因此④是错误的;
连接BD,则S△BPD=
PD×BE=
,
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
,
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+
.
综上可知,正确的有①③⑤.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201204/2/dd137c7a.png)
由△APD≌△AEB得,∠AEP=∠APE=45°,从而∠APD=∠AEB=135°,
所以∠BEP=90°,
过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,
在△AEP中,由勾股定理得PE=
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在△BEP中,PB=
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∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=
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故②是错误的;
因为△APD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而对顶角相等,所以③是正确的;
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201203/49/45e92ce3.png)
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
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可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=
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连接BD,则S△BPD=
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所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+
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所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+
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综上可知,正确的有①③⑤.
点评:此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理,综合性比较强,解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.
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