Question

已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点（a，b），（a+k，b+k+2）分别代入一次函数解析式，即可得出关于b的等式，即可得出答案；
（2）利用（1）中k的值，得出反比例函数解析式，将两函数组成方程组，求出交点坐标即可；
（3）利用函数图象交点坐标，即可得出不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
（4）分别根据当AP₁⊥x轴时，当AO=OP₂时，当AO=AP₃时，当AO=P₄O时，得出答案即可．

解答：解：（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a-1①，2a+2k-1=b+k+2②，
∴整理②得：b=2a-1+k-2，
∴由①②得：2a-1=2a-1+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=

2

2x

=

1

x

；

（2）解方程组

y= 1 x y=2x-1

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∴A（1，1），B（-

1

2

，-2）；

（3）根据函数图象，可得出不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
即0＜x＜1或x＜-

1

2

；

（4）当AP₁⊥x轴，AP₁=OP₁，∴P₁（1，0），
当AO=OP₂，∴P₂（

2

，0），
当AO=AP₃，∴P₃（2，0），
当AO=P₄O，∴P₄（-

2

，0）．
∴存在P点P₁（1，0），P₂（

2

，0），P₃（2，0），P₄（-

2

，0）．

点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，以及交点坐标求法和等腰三角形的性质等知识，根据图象上点的性质得出2a-1=2a-1+k-2，从而得出k的值是解决问题的关键．