Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A、C和x轴上的另一点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式，并画出函数图象略图；
（2）在直线AC上求点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线上是否存在点Q，使△ABQ的面积等于△AMC面积的8倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于直线y=2x+4与x轴、y轴相交于A、C两点，
∴当x=0时，y=4． 当y=0时，x=-2．
∴点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，4）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）
经过A（-2，O），B（1，O），C（O，4）三点，
抛物线的解析式为：y=-2x²-2x+4．
如图，画出函数图象略图．

（2）（i）由于OC⊥AO，所以过B作BP⊥x轴，交直线AC于点P₁，
则OC∥BP₁．△ABP∽△AOC．
∵P_l点的横坐标为1，把x=1代入y=2x+4得y=6．
∴P₁点的坐标为（1，6）．
（ii）∵△AOC为直角三角形，且AO=2，OC=4，∴AC=2．
过P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂与Rt△ACO中，∠CA0是公共角，
∴Rt△ABP₂∽Rt△ACO =，AP₂=
过B点作P₂D⊥X轴于D，则Rt△AP₂D∽Rt△ABP₂．=
∴AD=，OD=OA-AD=，
∴P₂点的横坐标为-
把X=-代入y=2x+4得y=．P₂点的坐标为（-，）；

（3）存在．
抛物线y=-2x²-2x+4顶点M的坐标为（-，）．
假设在抛物线上存在点Q，使．S_△ABQ=8S_△AMC．
设Q的坐标为（x_Q，y_Q），对称轴X=-与x轴交于点F．
则S_△AMC=S_{四边形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，
S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8．
当y_Q=8时，-2x²-2x+4=8，即：x²+x+2=O，
∵△=-7＜O，∴此方程无解．
当y_Q=-8时，-2x²-2x+4=-8，即：x²+x-6=0，解之得x₁=-3，x₂=2，
∴O点的坐标为（-3，-8）或（2，-8）．
∴在抛物线上存在点Q₁（-3，-8）或Q₂（2，-8），
使△ABQ的面积等于△AMC面积的8倍．
分析：（1）根据当x=0时，y=4，当y=0时，x=-2，分别求出A，B两点坐标，再代入解析式即可求出；
（2）过B作BP⊥x轴，交直线AC于点P₁，则OC∥BP₁．△ABP∽△AOC，即可求出P点坐标，再过P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂与Rt△ACO中，求出Rt△ABP₂∽Rt△ACO 进而求出P点坐标；
（3）根据S_△AMC=S_{四边形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，以及S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8，即可得出Q点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合进行分析得出是解题关键．