Question

直线y=-x+b与双曲线y=

k

x

相交于点D（-4，1）、C（1，m），并分别与坐标轴交于A、B两点，过点C作直线MN⊥x轴于F点，连接BF．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求∠BCF的度数；
（3）设直线MN上有一动点P，过P作直线PE⊥AB，垂足为E，直线PE与x轴相交于点H．当P点在直线MN上移动时，是否存在这样的P点，使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把点D（-4，1）代入直线y=-x+b与双曲线y=

k

x

即可得出结论；
（2）根据反比例函数的解析式易求点C的坐标，则由A、C的坐标可以求得∠BCF=45°；
（3）从图中不难看出∠AHP、∠ACF是同角（或等角）的余角，那么必有∠AHP=∠FCB=45°，首先用未知数设出PF的长，进而由∠AHP的度数求出PH、AH的长，若△AHP、△FCB相似，通过得到的比例线段列式求出这个未知数的值，由此确定点P的坐标（注意要分点P在x轴上方和下方两种情况讨论）．

解答：解：（1）∵直线y=-x+b与双曲线y=

k

x

相交于点D（-4，1），
∴1=4+b，解得b=-3；
1=

k

-4

，解得k=-4．
∴直线解析式为y=-x-3，双曲线解析式为y=-

4

x

；

（2）∵点C（1，m）在反比例函数y=-

4

x

上，
∴m=-

4

1

=-4，
∴C（1，-4）．
由点A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠BCF=45°；

（3）①如图1，当点P在x轴下方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，设FH=FP=x，则PH=

2

x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=

2

，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么

PH

BC

=

AH

CF

，则有：

2 x

2

=

4+x

4

，
解得：x=

4

3

，即 P（1，-

4

3

）；
②如图2，当点P在x轴上方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
设FP=x，则 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=

2

x；
同1可得：

PH

CF

=

AH

BC

，有：

2 x

4

=

x-4

2

，
解得：x=8，即 P（1，8）；
综上，点P的坐标为（1，-

4

3

）或（1，8）．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等相关知识点；（2）较难，能够应用含有特殊度数的∠BCF是解答题目的关键．