题目内容

【题目】如图,将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C在x轴上,点D(,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.若抛物线(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部,则a的取值范围是(

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析:如图,

过点E作EF⊥AB于F,EF分别与AD、OC交于点G、H,

过点D作DP⊥EF于点P,

则EP=PH+EH=DC+EH=1+EH,

在Rt△PDE中,由勾股定理可得,

DP2=DE2﹣PE2=9+(1+EH)2

∴BF2=DP2=9+(1+EH)2

在Rt△AEF中,AF=AB﹣BF=,EF=4+EH,AE=4,

∵AF2+EF2=AE2

即:

解得EH=1,

∴AB=3,AF=2,E(2,﹣1).

∵∠AFG=∠ABD=90°,∠FAG=∠BAD,

∴△AFG∽△ABD.

即:

∴FG=2.

∴EG=EF﹣FG=3.

∴点G的纵坐标为2.

∵y=ax2﹣4ax+10=a(x﹣22+(10﹣20a),

∴此抛物线y=ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x=2上.

又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部,

∴此抛物线的顶点必在EG上.

∴﹣1<10﹣20a<2,

故选B.

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