题目内容

如图1,直线y=-
3
3
x+
3
与两坐标轴交于A、B,以点M(1,0)为圆心,MO为半径作小⊙M,又以点M为圆心、MA为半径作大⊙M交坐标轴于C、D.
(1)求证:直线AB是小⊙M的切线.
(2)连接BM,若小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移,大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移,问:经过多少秒后,两圆相切?
(3)如图2,作直线BEx轴交大⊙M于E,过点B作直线PQ,连接PE、PM,使∠EPB=120°,请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系.
(1)∵直线y=-
3
3
x+
3
与两坐标轴交于A、B,∴A(3,0),B(0,
3
),MO=1,
过M作MF垂直AB于F,
则∠MFA=∠BOA=90°,
∵∠FAM=∠OAB,
∴△MFA△BOA,
AM
AB
=
MF
OB

∵A(3,0),B(0,
3
),M(1,0),
∴OA=3,OB=
3
,OM=1,
∴AM=3-1=2,由勾股定理得:AB=2
3

2
2
3
=
MF
3

MF=1=OM,
∵MF⊥AB,
∴直线AB是小⊙M的切线.

(2)小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移,圆心M(1,0),则移动t秒后的圆心变为(2t+1,0);
因为B(0,
3
),M(1,0),
所以直线BM的解析式为:y=-
3
x+
3

又因为大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移,圆心M(1,0),则移动t秒后的圆心变为(1+
1
2
t,-
3
2
t),
①当两圆外切时,两圆心距离为两圆半径的和即:
3
4
t2+
9
4
t2
=OM+MA=OA=3,
解得t=
3
秒,
②当两圆内切时,两圆心距离为两圆半径的差即:
3
4
t2+
9
4
t2
=1,
解得t=
3
3
秒,

(3)如下图作辅助线:ME=2,OB=
3
,在△BCM中,∠BMO=60°,同理∠EMA=60°,
则∠BME=60°,
又∵∠EPB=120°,
∴∠EPB+∠BME=180°,
∴PBME四点共圆,
∵BM=ME,
∴∠BPM=∠EPM=60°,
在PM上截取PN=PE,连接NE,
∵∠EPM=60°,PE=PN,
∴△PNE是等边三角形,
∴PE=EN,∠PEN=60°,
∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB,
∵∠PBE=∠NME(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),
在△PBE和△NME中
∠EPB=∠MNE
∠PBE=∠EMN
PE=EN

∴△PBE≌△NME(AAS),
∴PB=NM,
∴PM=PN+NM=PE+PB.
∴PB、PE、PM三者之间的数量关系为:PM=PB+PE.
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