Question

10、已知a、b、c均为正整数，且满足a²+b²=c²，又a为质数．
证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方数．

Answer 1

分析：从a²+b²=c²的变形入手；a²=c²-b²，根据a是质数，则a²一定是只有因数1，a和a²，运用质数、奇偶数性质证明．

解答：证明：（1）∵a²+b²=c²，
∴a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
因为a是质数，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a²，得到c=b+1，
则b，c是两个连续的正整数，
∴b与c两数必为一奇一偶；

（2）将c=b+1代入原式得：
a²+b²=（b+1）²=b²+2b+1
得到a²=2b+1
则a²+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1）
左边等于（a+1）²是一个完全平方数，
所以右边2（a+b+1）是一个完全平方数，得证．

点评：本题主要考查了质数的性质，正确理解若a是质数，则a²一定是只有因数1，a和a²，是解决本题的关键．