题目内容
【题目】如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）△BCM为直角三角形；（3）符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，
），P2（9，0）．
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
，
解得：
，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），
令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3
，BM=2
，CM=，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM为直角三角形；
（3）若∠APC=90°，即P点和O点重合，如图1，
连接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且
=
，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴此时P点坐标为（0，0）．
若P点在y轴上，则∠PAC=90°，如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴
=
，
即
=
，
∴点P1（0，
）．
若P点在x轴上，则∠PCA=90°，如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴
=
，
即
=
，AP2=10，
∴点P2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．
