Question

如图，已知∠AOB=45°，A₁是OA上的一点，OA₁=1，过A₁作OA的垂线交OB于点B₁，过点B₁作OB的垂线交OA于点A₂；过A₂作OA的垂线交OB于点B₂…如此继续，依次记△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…的面积为S₁，S₂，S₃…，则S₂₀₁₁=

2⁴⁰¹⁹

．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质以及相似三角形的性质易知后面一个三角形的面积是前面一个三角形面积的4倍．

解答：解：∵∠AOB=45°，OA₁=1，A₁B₁⊥OB，A₂B₁⊥OB，A₂B₂⊥OA，A₃B₂⊥OA，
∴S₁=2^2×1-3=

1

2

；
S₂=2^2×2-3=2；
S₃=2^2×3-3=8
…
S_n=2^2n-3．
∴S₂₀₁₁=2^2×2011-3=2⁴⁰¹⁹．
故答案是：2⁴⁰¹⁹．

点评：本题考查了等腰直角三角形、三角形的面积．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到后面三角形的面积与原三角形的面积的规律．