Question

已知：如图①，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、。

（I）求证：
（II）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；

（III）当的最小值为时，求正方形的边长。

Answer 1

（1）略（2）当在中点时，值最小（3）

解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°， ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN， 即∠BMA=∠NBE， 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：连接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 设正方形的边长为x，则BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去负值）， ∴正方形的边长为。