Question

如图，当x=2时，抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B（A在B的右边）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）D是线段AC的中点，E为线段AC上的一动点（不与A，C重合），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知，当x=2时，抛物线的最小值为-1，因此抛物线的顶点坐标为（2，-1）；可用顶点式来设抛物线的解析式，然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（2）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD与三角形COA相似，只有两种情况：当D为直角顶点时，∠EDF=90°，由于D是AC中点，而FD⊥AC，三角形AOC又是个等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分线上，即DF在直线y=x上，此时可先求出直线AC的函数关系式，然后联立抛物线的解析式求出F的坐标，由于E、F的横坐标相同，将F的横坐标代入AC所在的直线的解析式中即可求出E点的坐标．
（3）当F为直角顶点时，∠EFD=90°，那么DF与三角形AOC的中位线在同一直线上，即DF所在的直线的解析式为y=2，然后可根据（2）的方法求出p点的坐标．

解答：解：（1）由题意可设抛物线的关系式为
y=a（x-2）²-1
因为点C（0，3）在抛物线上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，抛物线的关系式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令y=0，即x²-4x+3=0，
得点A（3，0），B（1，0），线段AC的中点为D（

3

2

，

3

2

）
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF与△AOC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y=

3

2

由x²-4x+3=

3

2

，
解得x=

4- 10

2

，x=

4+ 10

2

＞3（舍去）
将x=

4- 10

2

代入y=-x+3，
得点E(

4- 10

2

，

2+ 10

2

)．
当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，
因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y=x．
解x²-4x+3=x，得x=

5- 13

2

，x=

5+ 13

2

＞3（舍去）
将x=

5- 13

2

代入y=-x+3，
得点E（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．
则E的坐标是：（

4- 10

2

，

2+ 10

2

）或（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．

（3）点P的坐标为：(2，

3+ 17

2

)，(2，

3- 17

2

)，(2，

1

2

)，(2，

14

2

)，(2，-

14

2

)

点评：本题结合等腰三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（3）中在不确定△EDF的直角顶点的情况下要分类进行讨论，不要漏解．