题目内容
（2012•聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．
观察计算：（1）在方案一中，d1=
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=
km（用含a的式子表示）．
探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1
②当a=6时，比较大小：d1
（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵m2-n2=（m+n）（m-n），m+n＞0，
∴（m2-n2）与（m-n）的符号相同．
当m2-n2＞0时，m-n＞0，即m＞n；
当m2-n2=0时，m-n=0，即m=n；
当m2-n2＜0时，m-n＜0，即m＜n．
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．
观察计算：（1）在方案一中，d1=
a+2
a+2
km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=
| a2+24 |
| a2+24 |
探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1
＜
＜
d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1
＞
＞
d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵m2-n2=（m+n）（m-n），m+n＞0，
∴（m2-n2）与（m-n）的符号相同．
当m2-n2＞0时，m-n＞0，即m＞n；
当m2-n2=0时，m-n=0，即m=n；
当m2-n2＜0时，m-n＜0，即m＜n．
分析：观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP⊥l于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2．
（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值
就是管道长度．
探索归纳：（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=
就可以比较其大小；
②把a=6代入d1=a+2和d2=
就可以比较其大小；
（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．
（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值
| a2+24 |
探索归纳：（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=
| a2+24 |
②把a=6代入d1=a+2和d2=
| a2+24 |
（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．
解答：解：（1）∵BP⊥l，
∴BP=2，
∵AB=a，
∴d1=a+2．
（2）∵点A′与点A关于l对称，
∴AA′=6，
∵BK⊥AA′，
∴AK=1，在Rt△ABK中，由勾股定理，得
∴BK2=a2-1，
在Rt△KBA′由勾股定理，得
A′B2=25+a2-1=a2+24．
∴A′B=
探索归纳
（1）①当a=4时，d1=6，d2=2
，
∵6＜2
，
∴d1＜d2．
②当a=6时，d1=8，d2=2
，
∵8＞2
，
∴d1＞d2．
（2）∵d12-d22=（a+2）2-（
）2=4a-20，
∴①当4a-20＞0，即a＞5时，d1＞d2；
∴选择方案二铺设管道较短．
②当4a-20=0，a=5时，d1=d2；
∴选择方案一、二铺设管道一样长
③当4a-20＜0，即a＜5时，d1＜d2．
∴选择方案一铺设管道较短．
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5 时，选方案一．
故答案为：a+2，
，＜，＞．
∴BP=2，
∵AB=a，
∴d1=a+2．
（2）∵点A′与点A关于l对称，
∴AA′=6，
∵BK⊥AA′，
∴AK=1，在Rt△ABK中，由勾股定理，得
∴BK2=a2-1，
在Rt△KBA′由勾股定理，得
A′B2=25+a2-1=a2+24．
∴A′B=
| a2+24 |
探索归纳
（1）①当a=4时，d1=6，d2=2
| 10 |
∵6＜2
| 10 |
∴d1＜d2．
②当a=6时，d1=8，d2=2
| 15 |
∵8＞2
| 15 |
∴d1＞d2．
（2）∵d12-d22=（a+2）2-（
| a2+24 |
∴①当4a-20＞0，即a＞5时，d1＞d2；
∴选择方案二铺设管道较短．
②当4a-20=0，a=5时，d1=d2；
∴选择方案一、二铺设管道一样长
③当4a-20＜0，即a＜5时，d1＜d2．
∴选择方案一铺设管道较短．
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5 时，选方案一．
故答案为：a+2，
| a2+24 |
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用．
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的平方根是 ．