Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1）梯形ABCD的面积等于

 

；
（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于

 

秒；
（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？

Answer 1

分析：（1）已知梯形各边的长，用勾股定理易求高以及其面积；
（2）本题要找出线段之比，设要用x秒后PQ∥AB，已知

PC

CN

=

CQ

CB

，求出x的值即可；
（3）本题有两种情况．当PQ⊥BC，利用

CP

CD

=

CQ

CE

求解．第二种是当QP⊥CD时，设P点离开D点x秒，利用线段比求解．

解答：解：（1）36；

（2）分别延长BA和CD，交于点N，
则NA：NB=AD：BC，即

NA

NA+5

=

6

12

NA=5，则ND=NA=5．
设用了x秒PQ∥AB，则DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
PC：CN=CQ：CB，

5-x

5+5

=

2x

12

，x=

15

8

．
即当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于

15

8

秒；

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：

①当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒，
作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE．
∴

CP

CD

=

CQ

CE

，

5-x

5

=

2x

3

∴x=

15

13

∴当PQ⊥BC时，P点离开D点

15

13

秒．
②当QP⊥CD时，设P点离开D点x秒
∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C．
∴△QPC∽△DEC
∴

PC

EC

=

CQ

CD

5-x

3

=

2x

5

∴x=

25

11

∴当QP⊥CD时，点P离开点D

25

11

秒．
由①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开点D

15

13

秒或

25

11

秒．

点评：本题涉及大量的线段比以及要靠辅助线的帮助才能求解，有一定难度，需认真分析．