Question

（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴

a+b+3=0 16a+4b+3=3

，
解得

a=1 b=-4

，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=0 4k+b=3

，
解得

k=1 b=-1

，
所以，直线AC的解析式为y=x-1，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2-1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立

y=x+m y=x2-4x+3

，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-

13

4

时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=

5

2

，y=

5

2

-

13

4

=-

3

4

，
∴点E的坐标为（

5

2

，-

3

4

），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（

13

4

，0），
∴AF=

13

4

-1=

9

4

，
∵直线AC的解析式为y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
又∵AC=

32+(4-1)2

=3

2

，
∴△ACE的最大面积=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

，此时E点坐标为（

5

2

，-

3

4

）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．