Question

在△ABC中，已知BC=4cm，∠BAC=45°，则△ABC的最大面积是（　　）

• A、8cm²
• B、16cm²
• C、4(1+

  2

  )cm²
• D、8(1+

  2

  )cm²

Answer 1

分析：作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BOC=90°，过点O作OD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出半径OB的长度，再根据三角形的面积公式，底边BC一定，边BC上的高越大则三角形的面积越大，所以，当BC边上的高过圆心O时，三角形的面积最大，进行求解即可．

解答：解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，则
BD=CD=

1

2

BC=2（等腰三角形三线合一），
∵∠BOC=90°，OD⊥BC，
∴OD=

1

2

BC=2，
半径OB=

OD2+BD2

=

22+22

=2

2

，
∵BC=4cm一定，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：2

2

+2，
∴△ABC的最大面积是：

1

2

×4×（2

2

+2）=4（

2

+1）cm²．
故选C．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，以及三角形的面积公式，根据题意作出△ABC的外接圆，利用圆的知识进行求解是解题的关键，本题灵活性较强，是道好题．