Question

（2013•海沧区一模）如图，已知双曲线y=

k-3

x

（k为常数）与过原点的直线相交于A、B两点，第一象限内的点M（点M在A的上方）是双曲线y=

k-3

x

上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点．
（1）若直线AB的解析式为y=

1

6

x，A点的坐标为（a，1），
①求a、k的值；
②当AM=2MP时，求点P的坐标．
（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，试问m-n的值是否为定值？若是求出它的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由A（a，1）在直线y=

1

6

x上，得

1

6

a=1，解得a=6，然后根据A（6，1）在双曲线y=

k-3

x

上解得k=9；
②过点A作AE⊥y轴于E，过点M作MF⊥y轴于F得到MF∥AE后即可证明△PMF∽△PAE，利用相似三角形对应线段的比相等得到MF=2，从而得到点M（2，3），利用待定系数法求得直线AM的解析式即可；
（2）如图，设点A的横坐标为b，点M的横坐标为t，则点B的横坐标为-b；过点B作BC⊥y轴于C，过点M作MD⊥AE于D，根据MD∥y轴得到△AMD∽△APE根据相似三角形对应线段的比相等用b、t表示出m和n，从而求得m-n的值．

解答：解：（1）①∵A（α，1）在直线 y=

1

6

x上，
∴

1

6

a=1，
解得a=6．
∵A（6，1）在双曲线 y=

k-3

x

上，
∴

k-3

x

=1，
解得k=9，
∴a，k 的值分别是6，9；

②如图1，过点A作AE⊥轴于E，过点M作MF⊥轴于F，
则MF∥AE，
∴△PMF∽△PAE，
∴

MF

AE

=

PM

PA

，即

MF

6

=

1

3

，
∴MF=2，
∴点M（2，3）．
∵A（6，1）、M（2，3），
∴直线AM的解析式为 y=-

1

2

x+4．
∴点P（0，4）；

（2）答m=n为定值-2．如图2，设点A的横坐标为b，点M的横坐标为t，则点B的横坐标为-b；
过点B作BC⊥y 轴于C，过点M作MD⊥AE于D．
∵MD∥y 轴，
∴△AMD∽△APE，
∴

AM

AP

=

AD

AE

，即

m

m+1

=

b-t

b

，得m=

b-t

t

①
∵MF∥BC，
∴△MFQ∽△BCQ，
∴

FM

BC

=

MQ

BQ

，即

t

b

=

1

n-1

，得n=

b+t

t

 ②
∴由①-②得，m-n=

b-t

t

-

b+t

t

=-2．

点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．