Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°．

（1）若设∠DAC＝x°，则∠BAC＝ °，∠C＝ °；（用含x的代数式表示）

（2）求∠C的度数；

（3）请直接写出∠AEC与∠B、∠C之间的关系式．

Answer 1

【答案】（1）∠BAC=36°+2x，∠C=90°－x；（2）∠C=78°；（3）∠AEC=90°+∠B－∠C．

【解析】分析：（1）由角平分线的定义可得∠BAC的度数，由直角三角形两锐角互余可得到∠C的度数；

（2）由AD是BC边上的高，∠B=42°，可得∠BAD=48°，在由∠DAE=18°，可得∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°，然后根据AE是∠BAC的平分线，可得∠BAC=2∠BAE=60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．

（3）由三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得出结论．

详解：（1）∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠EAC=（36+2x ）°．

∵AD是BC边上的高，∴∠C=90°－x．故答案为：∠BAC=36°+2x，∠C=90°-x．

（2）∵AD是BC边上的高，∠B=42°，∴∠BAD=48°．

∵∠DAE=18°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°．

∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=78°．

（3）∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+ ∠BAC=∠B+（180°－∠B－∠C）=90°+（∠B－∠C）=90°+∠B－∠C．