Question

（1）BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，设∠A=n°（n为已知数）求∠O的度数；
（2）BO、CO分别是△ABC两外角的平分线，设∠A=n°（n为已知数）求∠O的度数；
（3）BO、CO分别平分∠ABC和∠ACD，设∠A=n°（n为已知数）求∠O的度数．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCD，然后整理即可得解．

解答：解：（1）根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-n°）=90°-

1

2

n°，
在△OBC中，∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

n°）=90°+

1

2

n°；

（2）根据三角形的外角性质，以及角平分线的定义，
∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

n°，
在△OBC中，∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°+

1

2

n°）=90°-

1

2

n°；

（3）根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠O+∠OBC，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCD=

1

2

∠ACD，
∴∠O+

1

2

∠ABC=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠O=

1

2

∠A=

1

2

n°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．