题目内容
【题目】某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.
(1)求证:AP=CQ;
(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.
【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,
∵∠PDQ=90°,
∴∠ADP=∠CDQ,
在△APD和△CQD中,,
∴△APD≌△CQD(ASA),
∴AP=CQ;
(2)解;PE=QE,理由如下:
由(1)得:△APD≌△CQD,
∴PD=QD,
∵DE平分∠PDQ,
∴∠PDE=∠QDE,
在△PDE和△QDE中,,
∴△PDE≌△QDE(SAS),
∴PE=QE;
(3)解:由(2)得:PE=QE,由(1)得:CQ=AP=1,
∴BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,
设PE=QE=x,则BE=5﹣x,
在Rt△BPE中,由勾股定理得:32+(5﹣x)2=x2 ,
解得:x=3.4,
即PE的长为3.4.
【解析】(1)由正方形的性质得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,证出∠ADP=∠CDQ,由ASA证明△APD≌△CQD,得出对应边相等即可;
(2)由全等三角形的性质得出PD=QD,证出∠PDE=∠QDE,由SAS证明△PDE≌△QDE,得出对应边相等即可;
(3)由(2)和(1)得出PE=QE,CQ=AP=1,求出BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,设PE=QE=x,则BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
